Testes de raiz unitária

Temos uma série temporal \(y_t\) e desejamos estimar o seguinte modelo para esta série:

\[ y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t \]

que claramente é um AR(1) e está sujeito a

\[ \varepsilon_t \sim iid\, N(0, \sigma^2)\,\, \forall \,\, t \\ \mathrm{E}\left[ \varepsilon_t\varepsilon_s \right] = 0,\,\, \forall \,\, t \neq s \]

Para que \(y_t\) seja estacionário temos que obter \(\phi\) que atenda a restrição \(|\phi| < 1\). Logo, as hipóteses do teste devem reescritas como:

\[ \begin{split} H_0: & \phi = 1,\, y_t \textrm{ não é estacionário}\\ H_1: & |\phi| < 1,\, y_t \textrm{ é estacionário} \end{split} \]

No entanto, é mais comum testar se os coeficientes são nulos de forma que uma simples transformação no modelo nos leva a

\[ \Delta y_t = (\phi - 1) y_{t-1} + \varepsilon_t = \pi\, y_{t-1} + \varepsilon_t \]

e consequentemente novas hipóteses

\[ \begin{split} H_0: & \pi = 0,\, y_t \textrm{ não é estacionário}\\ H_1: & \pi < 0,\, y_t \textrm{ é estacionário} \end{split} \]

Infelizmente, na prática a teoria é outra de forma que nem sempre é possível utilizar apenas um AR(1) para identificar a existência de raiz unitária. Algumas séries possuem uma estrutura mais complexa e um simples AR(1) não é suficiente para capturá-la.

Veremos a seguir como os testes ADF e PP contornam este problema.

Segundo Dickey-Fuller, devem ser consideradas 3 abordagens para realizar o teste de raiz unitária (considerando \(H_0: \pi = 0\)).

Random-walk com drift e tendência deterministica

\[ \Delta Z_t = \beta_0 + \beta_1 t + \pi Z_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \delta_i \Delta Z_{t-i} + \varepsilon_t \]

Random-walk com drift

\[ \Delta Z_t = \beta_0 + \pi Z_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \delta_i \Delta Z_{t-i} + \varepsilon_t \]

Random-walk plain-vanilla

\[ \Delta Z_t = \pi Z_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \delta_i \Delta Z_{t-i} + \varepsilon_t \]

• A estrutura do AR(1) foi extendida para acomodar uma estrutura ARMA(p,q) mais geral.
• Essa extenção é conhecida como augmented Dickey-Fuller (ADF).
• O teste considerando apenas o modelo AR(1) é o teste de Dickey-Fuller padrão que pode ser tratado como uma caso particular do teste ADF quando \(p=1\).
• A estatística de interesse é \[ \tau_i = \frac{\hat{\phi}-1}{S_{\hat{\phi}}} \] onde \(i=1,2,3\) representam os modelos propostos.
• Note que apesar do teste de RU ter uma jeitão de teste-\(t\), na prática não é, pois a distribuição de \(\tau_i\) não é uma \(t\) de Student.
• Cada modelo proposto possui uma distribuição para \(\tau_i\).
• As distribuições para \(\tau_i\) são obtidas através de simulações de Monte-Carlo (MacKinnon 1996).

O teste ADF no R está na função ur.df do pacote urca implementado por Bernhard Pfaff autor do livro Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R (Use R!).

args(ur.df)

## function (y, type = c("none", "drift", "trend"), lags = 1, selectlags = c("Fixed", 
##     "AIC", "BIC")) 
## NULL

• type recebe o modelo a ser considerado na realização do teste. none define o modelo random-walk plain-vanilla e os demais parâmetros são auto-explicativos.
• selectlags define qual o critério será utilizado para a seleção do modelo estimado. Fixed é o padrão de forma que o modelo é estimado com os lags fornecidos e não há seleção de modelo.
• lags define a quantidade de lags a ser utilizada na estimação da parte ARMA(p,q) do modelo. Este parâmetro deve ser utilizado em conjunto com o parâmetro selectlags. Se selectlags for AIC ou BIC o valor de lags é a quantidade máxima de parâmetros que um modelo poderá possuir. Logo, na dúvida chute um número razoável para lags e reze, porque a partir daqui já virou uma questão de fé.

Vamos aplicar o teste ADF a série diária do log do BOVESPA para o ano de 2011. Note que a série claramente apresenta uma tendência de queda, e isto para mim são bons indícios de que o modelo com tendência deterministica seja adequado para realizar o teste de RU.

Começemos com type="trend", lags=4 e selectlags="BIC" e soca a bota.

library(urca)
ur <- ur.df(y = BVSP.price, lags = 4, type = "trend", selectlags = "BIC")
ur@testreg

## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.08919 -0.00895  0.00070  0.00934  0.03885 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  5.51e-01   2.38e-01    2.31    0.022 *
## z.lag.1     -4.95e-02   2.14e-02   -2.32    0.021 *
## tt          -4.65e-05   2.74e-05   -1.70    0.091 .
## z.diff.lag  -2.18e-02   6.47e-02   -0.34    0.736  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
## 
## Residual standard error: 0.0156 on 240 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.0252,  Adjusted R-squared: 0.013 
## F-statistic: 2.07 on 3 and 240 DF,  p-value: 0.105

• O modelo selecionado foi lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag) com lags=1, mesmo fornecendo lags=4
• O coeficiente da tendência tt é negativo mantendo a coerência com o gráfico.
• O coeficiente z.lag.1, parâmetro de interesse para o teste de raiz unitária e para avaliar a sua insignificância precisamos da tabela de valores críticos que fica na variável ur@cval do teste.

##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.99 -3.43 -3.13
## phi2  6.22  4.75  4.07
## phi3  8.43  6.49  5.47

• tau3 é a estatística referente ao coeficiente z.lag.1 e estes são os dados que interessam, a informação de significância da tabela Coefficients refere-se ao teste-\(t\). Na mesma tabela temos que o valor da estatistíca para z.lag.1 é -2.32 e avaliando os níveis críticos de tau3 concluímos que não é possível rejeitar a hipótese nula para z.lag.1 e, portanto, a série tem raiz unitária e é não-estacionária.