Testes de cointegração

• Objetivo: testar a existência de cointegração entre duas séries temporais \(I(1)\) (\(y_{1,t}\) e \(y_{2,t}\))
• Rodar a regressão (MQO) \[ y_{1,t} = \alpha + \beta y_{2,t} + \varepsilon_{1,t} \]
• Realizar teste de raiz unitária (RU) para os resíduos \(\hat{\varepsilon}_{1,t} = y_{1,t} - \hat{\alpha} - \hat{\beta} y_{2,t}\) sob o seguinte modelo \[ \hat{\varepsilon}_{1,t} = \phi \hat{\varepsilon}_{1,t-1} + \eta_t \]
• Onde as seguintes hipóteses devem ser testadas. \[ \begin{split} H_0 &: \hat{\varepsilon}_{1,t}\,\textrm{tem RU} \longrightarrow \textrm{não há cointegração} \\ H_1 &: \hat{\varepsilon}_{1,t}\,\textrm{não tem RU} \longrightarrow \textrm{há cointegração} \end{split} \]
• O teste de raiz unitária sobre os resíduos deve ser realizado sem drift e sem tendência deterministica.
• Os resíduos \(\hat{\varepsilon_{1,t}}\) necessariamente terão média nula, exceto nos casos em que a amostra é pequena e \(\hat{\varepsilon_{1,t}}\) possui um valor absolute alto.

• Consideremos o processo gerador: \(z_{t} = \alpha + \beta z_{t-1} + \eta_{t}\).
• Quando o processo gerador da série temporal é sem drift, \(\alpha = 0\), a estatística do teste RU tem uma distribuição de Dickey-Fuller (DF).
• Quando \(\alpha \neq 0\) a estatística do teste RU é \(N(0,1)\), assintoticamente, e em amostras pequenas (finitas) esta distribuição talvez possa ser aproximada da distribuição de DF.

• No teste de EG a distribuição da estatística do teste de RU depende de \(\alpha\) (do modelo \(y_{1,t} = \alpha + \beta y_{2,t} + \varepsilon_{1,t}\)), no entanto, as tabelas assumem \(\alpha = 0\) e isso pode gerar erros quando \(\alpha \neq 0\).
• Uma forma de evitar a dependência em \(\alpha\) na distribuição da estatística de teste é introduzir um termo de tendência deterministica na regressão \[ y_{1,t} = \alpha_0 t + \alpha + \beta y_{2,t} + \varepsilon_{1,t} \]
• Assim a distribuição da estatística torna-se invariante a \(\alpha\) embora seja diferente do caso sem a tendência deterministica.
• Dessa maneira, temos 2 variantes para o teste de EG: com drift e com tendência deterministica.

Curiosidades

• Qualquer variável pode ser escolhida como regressor, podemos escolher tanto \(y_{1,t}\) quanto \(y_{2,t}\).
• No limite o teste pode ser realizado com ambas as variáveis, separadamente, para tornar a análise mais robusta.
• Este teste pode ser realizado ainda para avaliar a existência de cointegração em \(N\) séries temporais simultâneamente.

Dúvidas

• Quando faz sentido utilizar a tendência deterministica?
• Engle & Yoo (1991) argumentam que existem boas razões para introduzir tendência deterministica.
• É importante notar que essa diferença na modelagem é referente a regressão na qual os resíduos são estimados e sob os quais o teste de RU é executado.

Gerando séries claramente cointegradas

set.seed(12345)
e1 <- rnorm(250, mean = 0, sd = 0.5)
e2 <- rnorm(250, mean = 0, sd = 0.5)
u.ar3 <- arima.sim(model = list(ar = c(0.6, -0.2, 0.1)), n = 250, innov = e1)
y2 <- cumsum(e2)
y1 <- u.ar3 + 0.5 * y2

Estimar regressão entre variáveis y1 e y2.

lr <- lm(y1 ~ y2)
summary(lr)

## 
## Call:
## lm(formula = y1 ~ y2)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.5557 -0.4407  0.0053  0.4403  1.5273 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.19143    0.05276    3.63  0.00035 ***
## y2           0.48218    0.00939   51.36  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
## 
## Residual standard error: 0.608 on 248 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.914,   Adjusted R-squared: 0.914 
## F-statistic: 2.64e+03 on 1 and 248 DF,  p-value: <2e-16

Testar a existência de raiz unitária nos resíduos.

library(urca)
ur <- ur.df(y = residuals(lr), lags = 4, type = "none", selectlags = "BIC")
ur@teststat

##             tau1
## statistic -9.809

Valores críticos

##        1pct   5pct  10pct
## tau1 -3.943 -3.362 -3.063

• Não podemos aceitar a hipótese nula de existência de raiz unitária, portanto, não podemos rejeitar a hipótese de que as séries são cointegradas.